EL CAMPO FLUIDO

Admitida la validez del continuo en el medio fluido, es posible definir en cada punto un vector de posición x, en cada instante de tiempo t, al que se asociarán las diferentes variables del fluido: vector velocidad v(x,t), presión, temperatura, densidad, etc. Esta forma de describir el campo fluido se denomina euleriana y sirve para analizar las variaciones de las magnitudes físicas en puntos fijos del espacio. 

Se plantea el estudio desde un punto de vista lagrangiano si las magnitudes físicas no se refieren al punto del espacio, sino a la partícula fluida que pasa en el mismo instante por ese punto. Una partícula fluida es la cantidad diferencial de sustancia asentada en el continuo en la que están definidas las magnitudes intensivas. Desde la perspectiva lagrangiana, son válidas las leyes fundamentales en su forma clásica (por lo que este método presenta algunas ventajas en su formulación), si bien, en realidad, el tratamiento de los fluidos aconseja adoptar la perspectiva euleriana.

Definiciones y magnitudes cinemáticas 

La trayectoria de una partícula que en un instante anterior estuvo en x0 es una ecuación vectorial, desde el punto de vista lagrangiano, tal que:

Desde el punto de vista euleriano, se toma como variable fundamental del movimiento la velocidad del fluido en un punto del espacio, v = v(x,t), y se define el campo fluido mediante el campo de velocidades descrito por las líneas de corriente, que son las líneas tangentes al vector velocidad en un instante dado, es decir, v^sdl. Estas líneas son las trayectorias del campo de velocidad, y satisfacen las ecuaciones siguientes en coordenadas cartesianas:

Estas ecuaciones pueden integrarse utilizando dos condiciones de contorno y considerando que el tiempo aparece como un parámetro constante. La trayectoria de la partícula de fluido, desde la perspectiva euleriana, se deduce por integración del vector velocidad para cada una de las coordenadas y eliminando el tiempo del sistema de tres ecuaciones [1.3]. En este caso, las constantes de integración son tres y pueden ser, por ejemplo, las coordenadas iniciales de la partícula. Las líneas fluidas que muestran la ubicación, en cada instante, de todas las partículas que pasaron en un momento anterior por un punto del espacio se denominan trazas o líneas de emisión: x = x(x0,t0,t). Estas líneas pueden obtenerse por integración del vector velocidad, como se hizo con la trayectoria, pero reteniendo las que pasan por el punto de referencia x0 en distintos instantes t0. La figura 1.1 muestra una interpretación gráfica de estas líneas. 

Las líneas de corriente, las trayectorias y las líneas de traza coinciden en el movimiento permanente o estacionario, que se define como aquel movimiento en el que la velocidad no depende del tiempo, aunque pueda depender del espacio v(x). Por definición, en un movimiento permanente, todas las magnitudes fluidas son independientes del tiempo, pero un movimiento puede ser permanente en un sistema de referencia y no serlo en otro. Si la velocidad no depende del espacio, aunque pueda depender del tiempo v(t), el movimiento se denomina uniforme. Esta condición es bastante restrictiva e infrecuente, pues implica que el vector velocidad es el mismo en todo el campo fluido, tanto en dirección como en módulo, y sólo se presenta en los flujos no perturbados y en algunos casos idealizados. En la práctica, no obstante, es común describir como uniforme el movimiento que se mantiene idéntico a sí mismo. Por ejemplo, en el flujo completamente desarrollado en un conducto de sección recta constante, el perfil de la distribución de la velocidad es la misma en todo el conducto y, por tanto, se dice que el flujo es uniforme en él. Además, si el fluido es incompresible y el conducto, indeformable, entonces cualquier cambio temporal del caudal transportado afecta, al instante, a todo el conducto, en el que el flujo se mantendrá uniforme,2 aunque no sea permanente.

Los puntos de velocidad nula son puntos de remanso o estancamiento, y son puntos singulares de las líneas de corriente porque son los únicos que pueden pertenecer a más de una ellas. Dicho de otro modo: dos líneas de corriente no pueden cortarse en ningún punto que no sea de remanso porque entonces ese punto tendría definidas dos velocidades. Como corolario, si existe una línea cerrada en el espacio en la que se apoyen líneas de corriente, como en la figura 1.2, la superficie tubular que éstas forman es un tubo de corriente que encierra el fluido en su interior porque no puede atravesarla. 

Se denomina flujo convectivo de una magnitud a través de una superficie fija, en un sistema de referencia dado, la cantidad de esa magnitud que la atraviesa por unidad de tiempo:

donde n es el vector unitario normal a dS.

El flujo convectivo es una magnitud extensiva, ligada al movimiento del fluido, que puede aplicarse a cualquier magnitud intensiva, Φ, de carácter escalar o vectorial. Si Φ es un escalar, entonces Φv es el vector flujo de Φ y, por ejemplo, pv, el vector flujo másico. El flujo convectivo de la densidad es el flujo másico que atraviesa la superficie en un momento dado. Cuando Φ es un vector, la cantidad Φv se denomina tensor flujo de Φ. 

La circulación del vector velocidad a lo largo de una línea cualquiera, L, se define como:

y es una magnitud cinemática que ayuda a interpretar el movimiento fluido porque, como se verá a continuación, está relacionada con la existencia o no de rotación. Son muchas las situaciones prácticas en las que el movimiento del fluido sigue trayectorias curvilíneas alrededor de un punto central, aunque ello no siempre indica que el fluido rote como un sólido rígido. Cuando se calcula la circulación en una línea de corriente que se cierra sobre sí misma formando un círculo en el que la velocidad es constante, se obtiene la siguiente dependencia funcional entre la circulación, la velocidad y el radio del círculo:

En mecánica de fluidos, se define el vector vorticidad o vector torbellino como el rotacional del vector velocidad en un punto:

También se definen, por analogía a las líneas y a los tubos de corriente, las líneas de remolino, Ω^sdl = 0, que son las envolventes del vector vorticidad, y los tubos de vórtices o remolino, cuyas paredes están formadas por líneas de remolino. Como el campo de vorticidad es un campo solenoidal, ya que su divergencia Ω·Ω es cero y, en consecuencia, el flujo de Ω a través de una superficie cerrada es nulo, resulta que el flujo de la vorticidad es constante en el tubo de remolino en un instante dado de tiempo. Esta propiedad cinemática es sumamente importante y es independiente del tipo de fluido o del modelo de flujo que se presente

La vorticidad es una medida de la rotación del fluido en torno a un punto, y se denomina irrotacional aquel movimiento para el que es cero. Estos movimientos son potenciales en un dominio simplemente conexo, es decir, son movimientos en los que la velocidad deriva de un potencial escalar:

En un movimiento irrotacional, se demuestra que el potencial Φ es la circulación, independientemente del camino, entre el punto X0, donde el potencial es nulo, hasta el punto x. En otras palabras, cuando la velocidad deriva de un potencial, su circulación en una línea cerrada es nula. De esta ecuación se deduce que las líneas equipotenciales y las líneas de corriente son ortogonales en el campo fluido irrotacional simplemente conexo. Más adelante, se demostrará que la divergencia de la velocidad es nula en los fluidos incompresibles, lo que conduce a la ecuación de Laplace: ᐁ2 Φ = 0.

El gradiente en una dirección n de una propiedad n, escalar o vectorial, se obtiene a partir del operador n*ᐁ. En consecuencia, las operaciones v *ᐁΦ y Ω*ᐁΦ, representan el gradiente de dicha propiedad en la dirección de las líneas de corriente y de las líneas de remolino, respectivamente. Esto es, la condición v *Ωv = 0 indica que la velocidad es constante a lo largo de la línea de corriente, lo que ocurre en los movimientos unidireccionales incompresibles, mientras que su homóloga, Ω*ᐁv = 0, se presenta en los movimientos bidimensionales, en los que Ω y v son, necesariamente, perpendiculares.

Sistemas coordenados ortogonales 

Las coordenadas cartesianas {xyz} no son la única forma de describir la posición de un punto en el espacio. En general, la posición puede determinarse mediante fórmulas del tipo x = x(q1,q2,q3), donde {q1q2q3} son las coordenadas generalizadas del sistema de referencia elegido. La relación entre este sistema y el cartesiano, o entre dos sistemas cualesquiera de coordenadas curvilíneos, puede realizarse mediante las fórmulas de transformación qi = qi(x,y,z), o bien mediante sus inversas xi = xi(q1,q2,q3). 

Las ecuaciones qi = qi(x,y,z) =C, donde C es una constante, son una familia de superficies coordenadas cuyas intersecciones por parejas definen las líneas coordenadas. Cuando los vectores unitarios a lo largo de dichas líneas coordenadas, e1, e2 y e3, son perpendiculares en todo punto del espacio, entonces el sistema de coordenadas curvilíneo se identifica como ortogonal y la transición infinitesimal a lo largo de las líneas coordenadas se obtiene mediante la forma incremental:

En ocasiones, es más práctico solucionar un problema en un sistema coordenado, pero se prefiere presentar los resultados en otro sistema. La conversión entre dos sistemas se realiza mediante la denominada matriz de transformación, en cuyas filas se encuentran las componentes de la base destino con respecto a la de origen. Por ejemplo, como la base local unitaria en coordenadas cilíndricas con respecto a la cartesiana es:

si las componentes del vector OA de la figura 1.3 en la base rectangular son (xA,yA,zA), entonces sus componentes en la base cilíndrica, (cr,cθ,cz), son:

Para pasar estas coordenadas a las esféricas correspondientes, (er,eθ,ez), se aplica el mismo criterio y resulta:

Por razones de ortogonalidad entre las diferentes bases, se puede afirmar que las matrices de transformación tienen como determinante la unidad y que la matriz inversa es igual a la transpuesta. Esto permite realizar fácilmente la transformación en sentido contrario y también relacionar los diferentes sistemas coordenados entre sí. Así, para transformar unas coordenadas cilíndricas en esféricas, se operaría con [1.21] y [1.22] del modo siguiente:

cuyo resultado es:

Relaciones de Frenet y coordenadas naturales 

El triedro de Frenet en geometría diferencial es un sistema de coordenadas local creado sobre una curva en el espacio, cuya terna unitaria de vectores base (s,n,b) está definida sobre la dirección de la tangente a la curva, su normal principal y la dirección binormal. La orientación relativa entre los vectores de la base se define en sentido dextrógiro y los planos que contienen los vectores (s,n) y (n,b) se denominan osculador y normal, respectivamente. 

En comparación con otros sistemas de coordenadas, el sistema de coordenadas intrínsecas no sirve, en general, para describir la posición de cualquier punto en el espacio, sino sólo su ubicación a lo largo de una curva cualquiera, en principio conocida y parametrizable.9 Para identificar la posición de un punto P de la curva, es necesario definir su origen O, la distancia medida a lo largo de la misma con respecto a dicho origen y un sentido positivo de desplazamiento. Siendo s la coordenada genérica o abscisa curvilínea de la curva a lo largo de su tangente, y r(s) el vector OP correspondiente, el vector tangente s(s) se define como:

ya que el cociente Δr/Δs tiende, en el límite, a ser un vector unitario tangente a la curva en P. En mecánica de fluidos, los triedros de Frenet pueden definirse a lo largo de trayectorias, líneas de corriente y líneas de remolino. La mayor ventaja de usar líneas de corriente es, evidentemente, que entonces el vector velocidad sólo tiene componente en s, de modo que las ecuaciones básicas se simplifican notablemente y el propio campo de velocidades define la terna (s,n,b). En este caso, el vector tangente es:

donde v = dr/dt. Como se cumple que s·s = 1, se deduce que 2(s·ds/ds) = 0, de modo que ds/ds es un vector perpendicular a s y siempre dirigido hacia el centro de curvatura. El vector unitario del marco de Frenet en esta dirección (y sentido) es el vector normal n, que resulta de:

A medida que el punto P se desplaza a lo largo de la curva definida por s, el marco de Frenet puede rotar y los vectores de la base sujetos a P pueden cambiar de dirección. La rotación asociada a este desplazamiento se contempla mediante el denominado vector de Darboux, que se define como:

Los dos coeficientes escalares que aparecen en esta fórmula son la torsión de la curva, τ, y su curvatura, κ. En consecuencia, el vector de Darboux proporciona una forma geométrica concisa para interpretar la curvatura y la torsión de una curva en el espacio: curvatura y torsión son la medida de la rotación del marco de Frenet sobre los vectores binormal y tangente, respectivamente. La variación de los vectores de base a lo largo de la curva viene descrita por las conocidas relaciones de Frenet-Serret:

La primera de estas ecuaciones permite definir analíticamente la curvatura, κ, cuya inversa se sabe que es el radio de curvatura, el cual, según [1.27], es siempre positivo o cero.

Cuando la curva alcanza un punto de inflexión, se produce una singularidad, que conduce a una indefinición del marco de Frenet que limita o condiciona su uso. Esta circunstancia se resuelve imponiendo restricciones al vector normal y definiéndolo en los puntos singulares de la curva. En resumen, se define el sistema natural de coordenadas, en el que el vector normal se define positivo cuando apunta a la izquierda de s, de la curva en definitiva, y también en los puntos de inflexión. Como corolario, la concavidad y el radio de curvatura son también definidos positivos en el mismo sentido, y así se cumple que la curvatura en el sistema natural de coordenadas es el número real que resulta del producto escalar:

donde:

cuando ds/ds apunta a la derecha de s. Obsérvese que la definición del sistema natural de coordenadas no afecta las relaciones de Frenet ni el sentido del vector normal, que sigue dirigido hacia el centro de curvatura, sino sólo su signo.

Las relaciones de Frenet [1.30] también pueden escribirse de forma matricial. Además, utilizando la regla de derivación en cadena para introducir el módulo de la velocidad v, resulta:

La matriz resultante es antisimétrica y, por tanto, los vectores de la base rotan con una velocidad angular v(κ2+τ 2 ) 1/2 alrededor de un eje que tiene la dirección del vector D. Como el vector de Darvoux de [1.29] no tiene componente en dirección {n}, la curva sólo puede torsionarse en dirección {s} y curvarse (rotar) sobre las líneas en dirección {b}. Esto ha dado lugar al estudio del flujo fluido desde una perspectiva topológica, que queda fuera del alcance de esta obra, del que se extraen importantes conclusiones cuando se analiza la forma que adquiere la superficie de corriente sobre la que se apoya la curva y su relación con la distribución de energía en el flujo y su vorticidad. 

Para concluir este apartado, cabe mencionar la forma en que se describen la aceleración de la partícula y su vorticidad en coordenadas naturales. Es bien sabido que la aceleración resulta de la expresión:

donde at representa la aceleración tangencial, o variación del módulo de la velocidad; an es la aceleración normal, que representa la variación en dirección de la velocidad y se halla contenida en el plano osculador, y r = 1/κ es el radio de curvatura en ese punto. Se sigue que la aceleración de la partícula no tiene componente en dirección binormal, lo que evidentemente no quiere decir que sobre la partícula no puedan actuar fuerzas en esa dirección, sino que la resultante de las fuerzas aplicadas en b es nula. 

No es tan conocida ni tan fácil de interpretar la expresión que rige la vorticidad en un punto. En el caso tridimensional más general, y por componentes, es:  

donde aparecen las derivadas del versor s y de la velocidad en las direcciones normal y binormal a la línea de corriente. Para determinar las primeras, es necesario operar en coordenadas naturales sobre la superficie parametrizada que contiene la línea de corriente, que será una superficie de corriente. Las segundas son conocidas si se conoce el campo de velocidades sobre dicha superficie. 

Es evidente que, en caso de movimiento plano o axilsimétrico sin velocidad acimutal, la vorticidad sólo podría ser perpendicular al plano osculador, es decir, sólo Ωb sería no nula. En cualquier otro caso, la vorticidad puede tener componentes en las tres direcciones de la base local, lo que genera todo un subconjunto de superficies de flujo características. 

Sin entrar en más detalles de los estrictamente necesarios, la condición Ωn = 0 por sí sola es condición necesaria y suficiente para la existencia de una familia de superficies de un solo parámetro, en las que las líneas de corriente son líneas geodésicas; las líneas normales, perpendiculares a la superficie, y las líneas binormales, paralelas entre sí. Esta condición también implica que el vector de Darvoux y la vorticidad sean paralelos, pues entonces el vector de Lamb, Ω˄v, es paralelo a n. 13 Si es Ωs la que es nula, entonces las líneas de corriente y las de remolino son perpendiculares entre sí y ambas son geodésicas sobre la superficie. Esta condición también tiene otra consecuencia importante en el estudio del flujo: el sistema natural de coordenadas puede transformarse en cualquier otro sistema ortogonal, siempre que la densidad de helicidad, v ·Ω, sea nula; es decir, el sistema natural de coordenadas es también un sistema ortogonal en aquellos movimientos no helicoidales para los que Ωs = 0. 

Por otro lado, cuando Ω = Ωss, se obtiene el flujo de Beltrami, para el que el vector de Lamb es cero y en el que el flujo está formado por vórtices longitudinales cuyas líneas de corriente tienen forma helicoidal y coinciden con las líneas de remolino. En estos movimientos, las partículas de fluido por separado tienen el movimiento de un sólido rígido y una velocidad paralela al eje de rotación de la partícula aislada: cuanto más cerca se encuentra una línea de corriente del eje central, más estirada es su forma y mayor es la velocidad del flujo.

La derivada sustancial 

Los puntos de vista lagrangiano y euleriano se relacionan en mecánica de fluidos mediante la derivada temporal de una propiedad intensiva escalar o vectorial siguiendo una partícula. Esta derivada resulta de la operación:

El término de la izquierda de esta ecuación es la derivada de la propiedad cuando el observador sigue la partícula en su movimiento, y coincide con el punto de vista de Lagrange. El primer término de la derecha es la denominada derivada local de dicha propiedad, que es su variación temporal en el punto fijo considerado, mientras que el último término de la derecha es la derivada convectiva, o cambio de la propiedad con el movimiento en el campo fluido.

La aceleración de una partícula fluida se calcula, conforme a [1.36], como:

El primer término de la derecha es la aceleración local y no tiene una interpretación física directa ya que, de hecho, no es una aceleración, pues representa la diferencia de velocidad de dos partículas distintas por unidad de tiempo. El segundo sumando debe entenderse como el producto escalar del vector velocidad por el tensor gradiente de velocidad, y representa el gradiente de la velocidad en la dirección de la línea de corriente. 

Cuando las coordenadas son cartesianas o bien Φ es un escalar, es útil definir el operador derivada sustancial como:

que es equivalente a la [1.37] y válida en cualquier tipo de coordenadas, porque resulta útil relacionar la aceleración de la partícula fluida con su vorticidad, a través del vector de Lamb, y con el gradiente de la energía cinética específica.

Teoremas fluidos

En este apartado, se describen algunos de los teoremas más importantes que se aplican a la cinemática del medio de fluido. Estos teoremas permiten relacionar entre sí algunas de las magnitudes descritas hasta el momento y ofrecen un marco matemático básico, a la vez que necesario, que permite explicar mejor el movimiento fluido y ayuda a interpretarlo. 

El teorema de Gauss-Ostrogradskii relaciona el flujo convectivo de una determinada propiedad a través de una superficie cerrada con la divergencia de su vector o tensor flujo en el volumen encerrado por dicha superficie. Esto es:

Como consecuencia del teorema de Stokes, si la circulación es nula a lo largo de cualquier línea cerrada, entonces la vorticidad es nula en todo el campo fluido y el movimiento es irrotacional. El recíproco no es cierto si el campo fluido no es simplemente conexo, como ocurriría, por ejemplo, si el fluido estuviera encerrado por una superficie toroidal o si hubiera un número finito de discontinuidades en el campo fluido. Es decir, la circulación de la velocidad no se anula al hacerlo el rotacional cuando no se cumplen las condiciones de aplicación del teorema de Stokes. Más adelante, se describen con más detalle las propiedades del campo fluido irrotacional. 

Si el movimiento del fluido es permanente y tal que Ω es constante, por ejemplo cuando el fluido rota en torno a un eje, entonces [1.43] se transforma en:

Un resultado interesante del teorema de Bjerknes es el enunciado por el teorema de Kelvin, según el cual, cuando la aceleración deriva de un potencial, su circulación es nula y la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea cerrada se mantiene constante e igual a su valor inicial. Esta conclusión es muy importante porque existen numerosas situaciones en las que a = ᐁΨ, en concreto aquellas en las que las fuerzas másicas derivan de un potencial (no son potenciales la de Coriolis ni la debida a la aceleración angular del sistema de referencia), las superficiales son sólo de presión (el rozamiento es despreciable o el fluido, no viscoso) y existe una relación de barotropía en el fluido (v. [2.39], por ejemplo). 

Otro enunciado del teorema de Kelvin afirma que la circulación a lo largo de una línea cerrada constituida siempre por los mismos elementos de fluido es constante. El movimiento puede ser rotacional o no, pero, si es irrotacional porque parte del reposo o es uniforme, se mantendrá irrotacional mientras la aceleración derive de un potencial.17 Si el movimiento es rotacional y existen tubos de remolino, puesto que la circulación es la misma sobre cualquier línea perimétrica del tubo de remolino y se mantiene constante en este caso, el vector Ω se intensifica a medida que la sección transversal del tubo tiende a cero para mantener su flujo constante (figura 1.2). Como la velocidad no puede hacerse infinita al aumentar la vorticidad, se concluye que los tubos de remolino han de ser cerrados o terminar en un contorno sólido o en una superficie libre.

Integrales extendidas a volúmenes fluidos 

En mecánica de fluidos, un volumen fluido, VF, es un sistema material cerrado al que no entra ni del que sale masa a través de su superficie: es un sistema fluido de masa constante. Para la formulación de los principios fundamentales de la mecánica de fluidos, es fundamental tener en cuenta la variación de cualquier magnitud física asociada al volumen fluido. 

Si Φ es una magnitud fluida intensiva ligada al fluido, la propiedad extensiva asociada a un volumen fluido es:

La derivada material de Φ  no puede aplicarse a través de la integral porque el volumen de integración es una función del tiempo. Esta integral puede variar por dos razones: porque Φ  cambie dentro del volumen geométrico fijo, V, que en ese instante coincide con el volumen fluido, VF, y también porque cambie dicho volumen, cuya superficie se mueve a una velocidad v y se desplaza una distancia (v ·n)δt en un tiempo diferencial. El sentido de n es definido positivo hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie. Es obvio que el producto v ·n puede ser positivo, negativo o cero, y que el movimiento de la superficie según su tangente en un punto determinado no aumenta ni disminuye el volumen. En resumen, el cambio total de Φ  en un diferencial de tiempo es:

La ecuación [1.48] es el teorema de arrastre de Reynolds, que afirma que la variación temporal de una función integral vinculada al movimiento es la integral de su variación local extendida al volumen integral, que en ese instante coincide con el volumen fluido, más el flujo neto de la función a través de la superficie frontera de dicho volumen. 

Como la segunda integral de la ecuación [1.48] es el flujo convectivo de la propiedad Φ a través de la superficie, el teorema de Gauss-Ostrogradskii conduce a:

Es importante advertir que, aunque el volumen fijo no es el volumen fluido y sólo coincide con él en el instante considerado, no existe límite para su valor. En otras palabras, el volumen de la ecuación [1.49] puede ser cualquiera, ya que la integral está tomada en un instante y cualquier volumen puede ser volumen fluido.

Con frecuencia, es más cómodo referir la derivada de una integral a volúmenes que coincidan con la geometría variable del contorno. Sea VC un volumen de control dependiente del tiempo y cuya superficie se mueve a una velocidad vC. La derivada temporal de la propiedad ΦC contenida en dicho volumen es:

que puede aplicarse a numerosos casos en ingeniería, tanto si Φ es un escalar como si es un vector.