DINÁMICA  TRANSVERSAL AUTOMOTRIZ

Movimiento de balanceo

El balanceo 

El balanceo se define como la rotación en torno al eje x (longitudinal) del vehículo. En general, el balanceo de la carrocería (φ) es la suma del balanceo de la suspensión y del eje producido por la deformación de los neumáticos, es decir, es la suma del balanceo relativo de la masa suspendida (φs) respecto a la semisuspendida y el balanceo absoluto de la masa semisuspendida (φss) como se puede apreciar en la figura 4.1.

En el caso que nos ocupa, y a falta de datos que bien se podrían llegar a aproximar con experimentación o con herramientas computacionales, consideraremos que la rigidez del cuerpo que compone la masa suspendida del vehículo en cuestión es infinita y por lo tanto torsionalmente rígido y por ende tendremos un ángulo de torsión despreciable. 

Como concepto característico del comportamiento de la suspensión de un vehículo, podemos hablar de coeficiente de balanceo (kφ) como la variación del ángulo de balanceo φ respecto a la aceleración lateral habitualmente ejercida en una curva:

Este concepto caracteriza el balanceo total del vehículo, y se puede descomponer en la suma de los coeficientes de balanceo de la suspensión (kφs) y del eje (o masa semisuspendida, kφss). 

Para ángulos de balanceo pequeños, la rigidez depende básicamente de los muelles y barras estabilizadoras, pero para ángulos de balanceo mayores hay que tener en cuenta los topes de compresión y extensión de la suspensión.

En la figura 4.2 se muestra el comportamiento a balanceo de una suspensión cualquiera, en el podemos observar el ángulo de balanceo total del vehículo en función del par de balanceo aplicado sobre este.

En el punto A, el par de balanceo es nulo de igual manera que lo es el ángulo de balanceo. El punto B representa el momento en el que la suspensión de la rueda comprimida llega a su tope. La rigidez aumenta considerablemente a partir de entonces hasta llegar al tope de extensión de la suspensión de la otra rueda, punto C. Una vez llegado al punto D, la rueda interior de la curva pierde contacto con el suelo y puede llegarse a producir el vuelco del vehículo.

El centro de balanceo 

El centro de balanceo se define como el punto, en el plano vertical transversal al vehículo y que contiene los centros geométricos de cualquier par de ruedas (dentro de un mismo eje), en el que se pueden aplicar fuerzas laterales a la masa suspendida sin que se produzca balanceo de la suspensión. 

Se podría considerar que el centro de balanceo es el centro instantáneo de rotación (C.I.R) de la masa suspendida respecto a la masa semisuspendida cuando el vehículo se somete a una fuerza transversal, habitualmente provocada durante su paso por una curva (aunque también se puede producir este fenómeno cuando el vehículo es sometido a la acción de un fuerte viento en dirección transversal, en un derrape o trompo etc.). El centro de balanceo es básico para caracterizar el comportamiento en curva de un vehículo, ya que su posición nos puede aportar información importante como su tendencia a balancear, además de resumir el efecto de la geometría de la suspensión. 

Si se conoce la altura del centro de balanceo y la del centro de gravedad de la masa suspendida y semisuspendida, podemos caracterizar la transferencia de pesos tanto en el eje delantero como trasero, y de esta manera conocer la carga a la que está sometido cada neumático, lo que nos proporcionaría información valiosísima sobre la estabilidad, reparto de cargas entre muelles y brazos de suspensión y en definitiva, analizar la dinámica general del vehículo bajo grandes aceleraciones transversales. 

En la figura 4.3 se puede apreciar la sección transversal de uno de los ejes de un vehículo, en la cual se puede diferenciar claramente entre masa suspendida (ms), masa semisuspendida (mss) la altura al centro de gravedad de la masa suspendida respecto al suelo (hs) y la altura respecto al suelo del centro de gravedad de la masa semisuspendida (hss)

El peso total del vehículo será:

Cuando se somete al vehículo a una aceleración transversal, la masa suspendida empieza a balancear, lo que hace girar el centro de gravedad de la masa suspendida (Gs) un ángulo (Φs) respecto al plano vertical que pasa por el centro de balanceo (R). 

Podemos entonces, basándonos en el esquema, deducir la existencia de dos fuerzas importantes, la resultante de la fuerza lateral debida a la masa smisuspendida, que depende del peso de esta y se puede considerar que actúa en el centro de masas de la misma:

Donde ay es la aceleración transversal sometida al vehículo. 

Por otra parte tenemos la fuerza la lateral sobre la masa suspendida:

Donde d=hs-zR 

Un importante dato físico es tener en cuenta que el momento MΦs es soportado directamente por los muelles de la suspensión y la barra estabilizadora en caso de su existencia y es el que produce el balanceo de la suspensión. Por otra parte, la fuerza Fs actúa en el centro de balanceo, y es soportada directamente por los brazos de suspensión, no produciendo balanceo de la misma. 

La combinación de todas estas fuerzas son en gran parte (entre otros factores) las responsables de la transferencia de carga del neumático interior al exterior de un vehículo en su paso por una curva. Considerando un reparto simétrico de cargas, las fuerzas verticales soportadas en las ruedas equivale, para la rueda exterior en una curva a:

Tomando momentos respecto al punto medio entre los centros de las áreas de contacto de los neumáticos con el suelo, la transferencia de carga será:

Donde Av es el ancho de vías del vehículo. 

En cuanto a deducciones, la ecuación 8 nos proporciona información importante sobre la dinámica de un vehículo dependiendo de muchos factores intrínsecos del mismo, si analizamos el primer término de la ecuación, (ΔFzss) vemos que una masa semisuspendida grande hace aumentar la transferencia de carga entre neumáticos, al igual que una mayor aceleración transversal (mayor velocidad de curva) y cuanto más alta sea la altura de centro de gravedad de la masa semisuspendida. 

Prescindiremos del orden establecido por la ecuación y analizaremos ahora el tercer término de la misma, (ΔFzΦs) cuanto mayor sea el momento MΦs mayor será el valor de la tranferéncia de carga aportado por este término, y para aumentar el mismo, es suficiente con aumentar cualquiera de los elementos de la ecuación 8, se puede observar rápidamente que una distancia entre centro de balanceo y centro de gravedad de masa suspendida grande, agranda el valor total del término. 

En cuanto al segundo término, (ΔFzs), nos aporta información parecida al término primero, pero intercambiando masa semisuspendida por masa suspendida. 

Cabe señalar un aspecto importante en este componente, si en un caso hipotético, el centro de balanceo estuviera por debajo de la superficie del suelo, estaríamos hablando de un zR negativo, lo que conllevaría beneficiosamente a contrarrestar los demás términos (siempre que sean positivos) y ayudar a disminuir la transferencia de cargas, el problema es que, el centro de gravedad de la masa suspendida es una característica muy difícilmente amovible, y lo que ganamos reduciendo el valor de ΔFzs colocando el centro de balanceo más por debajo, lo perdemos al estar a la vez, aumentando la distancia entre el centro de balanceo y el centro de gravedad de la masa suspendida.

En términos generales, también se puede deducir que cuanto mayor sea el ancho de vías, menor será la transferencia de carga, y cuanto menor sea el peso en general del vehículo, más de lo mismo.

Lugar geométrico del centro de balanceo 

En el caso del vehículo sometido a estudio, como ya se ha descrito en anterioridad, el sistema de suspensión escogido para realizar el diseño es un sistema de suspensión independiente, tanto en el eje delantero como en el trasero. 

El sistema de suspensión de que disponemos en un vehículo nos determina la manera de encontrar el centro de balanceo de cada eje, para un sistema de suspensión de eje rígido por ejemplo, el método sería diferente al seguido para encontrar dicho punto en un sistema de suspensión independiente, como es nuestro caso, por tanto centraremos el estudio en dicha configuración. 

Habitualmente, en un sistema de suspensión independiente, el movimiento de tracción o compresión de la misma, implica directamente una modificación en el ancho de vía del vehículo es decir, induce un movimiento transversal de las ruedas a lo largo de su recorrido, que varía en función de la geometría y diseño de la suspensión. Como ya se ha descrito en el apartado anterior, el ancho de vía del vehículo tiene una influencia elevada en el comportamiento de este ante solicitaciones transversales. 

A priori, el ancho de vía debería de ser siempre el mayor posible, teniendo en cuenta por supuesto las limitaciones impuestas por la normativa deportiva en nuestro caso en cuanto a dimensiones o limitaciones externas debidas a la optimización de otros aspectos técnicos del vehículo como puede ser la aerodinámica etc. 

Una consecuencia negativa de la variación del ancho de vía del vehículo (tanto si es para reducirla como para ampliarla) durante el recorrido de la suspensión es que se inducen ángulos de deriva en los neumáticos por la aparición de solicitaciones transversales debidas a la tendencia de los neumáticos a desplazarse en dirección también transversal por la superficie del suelo. Todo esto dificulta el comportamiento direccional del vehículo y afecta a la estabilidad del mismo cuando pasamos por una curva. 

Para encontrar por lo tanto el centro de balanceo del vehículo, lo primero que hay que realizar es encontrar el centro instantáneo de rotación C.I.R del las ruedas respecto a la carrocería. 

El C.I.R no es más que el punto desde el cual rotan todos los puntos de un objeto (en nuestro caso las ruedas) cuyas velocidades angulares de rotación respecto a ese punto son idénticas. La rotación de ese objeto siempre se mira con respecto a una bancada de referencia, la cual en nuestro caso sería la carrocería del vehículo. 

En el caso de una suspensión independiente, el comportamiento de esta, y el C.I.R de cada una de las ruedas, se puede asimilar al de un brazo equivalente, pivotando respecto al punto P, o polo fijo a la carrocería, como se representa en la figura 4.4. Cuanto más alto este el punto P (C.I.R), mayor modificación del ancho de vía sufrirá el vehículo ante deflexiones de la suspensión. Lógicamente, si el polo estuviera en el suelo, la variación del ancho de vía ante el movimiento de la suspensión sería mínima.

En caso general, una vez encontrado el centro instantáneo de rotación de una de las ruedas respecto a la carrocería, es decir, el punto P de cada lado de la suspensión, solo falta unir el punto central de la huella de contacto del neumático con el suelo (que lo tomaremos como el punto medio del ancho del neumático) para prolongar entonces una recta desde dicho punto que pase por el centro instantáneo de rotación de la rueda respecto a la carrocería, hasta el punto en donde corte con la línea central media del vehículo. Este será entonces, el centro de balanceo de nuestro vehículo. En nuestro caso, al tratarse de un vehículo simétrico solo nos bastará con aplicar dicho método gráfico con una de las ruedas del vehículo (por cada eje), ya que si hiciéramos lo mismo por el lado simétrico, veríamos como el centro de balanceo nos daría en el mismo punto. 

Hay que tener presente que el centro de balanceo es un punto instantáneo, que varía su posición a medida que el vehículo efectúa el recorrido de su suspensión, y como consecuencia varía su ancho de vía. 

La variación del ancho de vía de un vehículo a lo largo del recorrido de la suspensión, tanto en extensión como en compresión, se puede graficar como se ve en la figura 4.5 para un vehículo con suspensión independiente.

Como ejemplo de resolución gráfica podemos ver en la figura 4.6 la proyección de a través de los eslabones AB y CD encontramos, en el punto de intersección de dichas proyecciones, el punto E que representa el centro instantáneo de rotación de la rueda respecto a la carrocería, y por lo tanto, la dirección del movimiento relativo del punto F respecto al cuerpo del vehículo, es perpendicular a la recta EF.

Resultante de fuerzas y sus componentes en la suspensión 

Tomando el contacto entre neumático y asfalto como un contacto puntual (una rueda no es un punto, pero a efectos de cálculo de fuerzas resultantes y con el objetivo de simplificar el trabajo, sí puede entenderse como un elemento puntual), y observando la figura 4.7, se puede apreciar que la fuerza que ejerce nuestro neumático puntual con el suelo (o al revés) se puede descomponer en dos fuerzas perpendiculares Fd1 y Fd2 pasando Fd2 por el punto E’. En este caso, el punto E’ representa el punto en el que se cortan las direcciones resultantes de las solicitaciones existentes en cada brazo, que coincidirá con el C.I.R de la rueda.

Si se considerara un caso ideal como el mostrado en la figura 4.8, en el que el muelle está conectado a la mangueta de la rueda según la dirección de Fd1 tenemos entonces que dicha fuerza Fd1 será soportada únicamente por el muelle, sin efecto alguno (descartando efectos de rozamientos en articulaciones) sobre los brazos de suspensión. Por otra parte, Fd2 se transmitirá únicamente a los brazos, sin efecto sobre el muelle.

En los casos más generales y por lo tanto en el nuestro también, al no ser ideales, tenemos que la fuerza Fd1 se transmitirá a la carrocería tanto a través de los muelles como a través de los brazos de suspensión. En todo caso, en ambos tipos de suspensión, tanto ideal como más realista, el balance de fuerzas externas es el mismo. La fuerza Fd2 tiene especial importancia cuando el coche pasa por una curva. En ocasiones ocurre que, dependiendo de la inclinación de la línea EF figura 4.6 parte del peso del vehículo se soporte a través de los brazos y tirantes en vez de a través de los muelles, el hecho de que esto ocurra, tiene especial importancia cuando el vehículo circula en curva y produce un efecto de elevación de la carrocería del vehículo combinado con una reducción del ancho de vía, fenómeno coloquialmente llamado efecto gato.

Estudio dinámico del balanceo Hasta ahora se ha estudiado el balanceo de la carrocería, tomando el vehículo como un cuerpo totalmente simétrico respecto a la línea media vertical del vehículo. Esto, como es obvio, no siempre es así, cuando el vehículo toma una curva, y sobre todo, bajo acciones laterales elevadas, la carrocería, como ya se ha estudiado hasta ahora, tiende a balancear y girar un determinado ángulo respecto a dicha línea vertical. La altura efectiva de balanceo por tanto, cambia respecto a la altura efectiva cuando no se produce balanceo. 

Como se ve en la figura 4.8 al producirse el balanceo de la carrocería, los centros instantáneos de rotación de ambas ruedas cambian su posición de manera independiente, lo que conlleva consigo mismo a cambiar las direcciones de las rectas FiEi y FdEd cuya intersección varia también según vaya balanceando la carrocería. Los ángulos φi y φd también cambian, y como Fd2 y Fi2 son diferentes, tendremos en este caso, una fuerza ascendente o fuerza de elevación que soporta parte del peso de la masa suspendida y alivia parte de carga a los muelles (el ya explicado efecto gato).

 

La fuerza total de elevación la podemos expresar como muestra la ecuación 9.

Debido a que esta fuerza actúa a efectos prácticos en el centro de balanceo del vehículo, dicha fuerza de elevación se distribuye de forma desigual en los dos lados del vehículo, ya que R no está en la línea media del vehículo, lo que influye directamente también en el ángulo de balanceo de la carrocería. 

Este fenómeno, hay que tenerlo en cuenta a la hora de diseñar un sistema de suspensión convencional, pero en el caso de la suspensión de un vehículo de pista, y más concretamente un vehículo estilo Fórmula, el efecto es inapreciable, ya que el balanceo, al tener esta clase de vehículo un centro de gravedad relativamente bajo, un ancho de vías considerable, y un recorrido de la suspensión casi mínimo, el efecto es prácticamente inapreciable.

Velocidad límite de vuelco

Un vehículo, a pasar a gran velocidad por una curva, está sometido a la fuerza centrífuga que tiende a empujarlo hacia el exterior de la pista. Cuando rozamos el límite de paso por curva del vehículo, pueden pasar dos cosas, o bien que los neumáticos pierdan su capacidad de agarre y el vehículo comience a deslizar, o bien que se produzca el vuelco. 

A continuación se analizan bidimensionalmente ambos efectos, llegándose a determinar las acciones límite de derrape y de vuelco. 

Hay que tener en cuenta en el ámbito en el que nos estamos moviendo, para un conductor inexperto o estándar, es necesario evitar siempre llegar a cualquiera de los dos límites expuestos (en especial el de vuelco) ya que aproximarse a ellos, sumado a la falta de capacidad automovilística de conducción extremas por parte del conductor, podría suponer un peligro para la integridad física y material del mismo y de lo que le rodea. 

En términos de competición no obstante, llegar a sobrepasar la capacidad de adherencia del vehículo en una curva es lo más habitual que podemos encontrar en carrera. Incluso en la mayoría de veces en un Formula (por no decir todas), el piloto ya tiene en cuenta el deslizamiento que se producirá durante la curva para entrar en la misma apuntando el vehículo de la manera correcta y apurando así la trazada lo máximo posible, deslizando la máquina durante su paso por curva, pero sin salirse de ella. 

Lo que se concluye con esto, es que el deslizamiento de los neumáticos en competición es el pan nuestro de cada día, a diferencia del vuelco, que no se debería de producir jamás. 

La velocidad de derrape depende esencialmente de la adherencia entre la rueda y la pista (influyen también otros factores, pero al fin y al cabo, los directos responsables de la adherencia son los neumáticos), a diferencia de la velocidad límite de vuelco, que está relacionada directamente con el sistema de suspensión. 

En la figura 4.9 se muestra un esquema de de la dinámica básica de un vehículo durante su paso por una curva peraltada.

Para cumplir el equilibrio estático, la totalidad de fuerzas que se oponen al deslizamiento del vehículo tiene que ser mayor a la fuerza total que tiende a deslizar el vehículo es decir, que se tiene que cumplir la inecuación 10 para que no se produzca el derrape.

Donde Df es igual al “Down force” es decir, la fuerza descendente aerodinámica. 

Una vez tenemos el valor de ΔFzT en este caso, podemos sustituir su valor en la ecuación 8 y extraer la aceleración ay que será a la que habrá que someter lateralmente al vehículo para lograr su vuelco, y trivialmente, para conocer la velocidad de límite de vuelco, hay que conocer previamente el radio de curvatura que inscribe el vehículo en un instante determinado y aplicar 12.

Donde R es el radio de la curva trazada por el vehículo en ese instante determinado. 

En un Fórmula, es difícil llegar a volcar el vehículo, debido a su amplio ancho de vías, a su bajo dentro de gravedad, y al hecho de que a medida que aumenta la velocidad el “down force” hace que el vehículo quede cada vez mas pegado al suelo, convierte a la tarea de vuelco, en una misión casi imposible. 

Cuando suele producirse, es prácticamente siempre debido a un choque o a una salida brusca (aunque muy brusca tiene que ser) de pista, situaciones para las cuales (quitando la seguridad) no está diseñado un Fórmula.

El ángulo de caída y la dinámica transversal

Como ya se introdujo en el capítulo 3 (Estudio de los neumáticos) el ángulo de caída es el ángulo que forma el plano medio de la rueda con la normal al plano de rodadura, figura 4.10.

Fundamentalmente, a un vehículo se le dota de ángulo de caída en sus neumáticos por motivos como los siguientes, además de otros explicados posteriormente: 

• Para reducir del brazo de palanca “e” sin necesidad de que el ángulo de salida sea muy grande. 
• Para que las ruedas contrarresten el esfuerzo que tiende a separarlas al adaptarse estas al bombeo de la carretera.  
• Para bajar ligeramente el centro de gravedad de las rueda y por consiguiente, bajar el centro de gravedad del vehículo.

El comportamiento de los neumáticos en función de diversos valores de ángulo de caída es muy complicado de deducir si no es experimentalmente, pero, por norma general, desde el punto de vista del desgaste de los neumáticos y de la resistencia a la rodadura, el ángulo de caída más favorable debe de ser ligeramente positivo. 

Como se ve en la figura 4.11 donde se aprecia un gráfico que nos da el desgaste del hombro o parte externa e interna de rodadura de la rueda en función de diferentes valores de ángulos de caída

Se aprecia que con un valore de caída de neumáticos de entre 5’ y 10’ aumenta la duración por desgaste, si nos excedemos con la caída negativa, se desgastará con en mayor medida el hombre interior del neumático, al contrario pasa cuando nos excedemos con la caída positiva, que desgastamos el hombro exterior. 

Por el contrario, si queremos mejorar el comportamiento lateral en curva y la estabilidad, aún a pesar de disminuir su vida por desgaste, se adoptarán ángulos de caída negativos. En cuanto a turismos, los valores típicos suelen estar entre 0º y -1º20’, cuando hablamos de F1, solemos movernos entre ángulos de -4º y -6º. 

Lo que sí que hay que tener muy en cuenta es que los valores estáticos de ángulos de caída, que son los que tiene el coche en parado varían cuando el vehículo circula debido al recorrido de la suspensión. La caída en sistema de suspensión independiente varía al tomar una curva. La rueda exterior tiende a adoptar a una valor de caída positivo con respecto al suelo, lo que perjudica su agarre lateral, al contrario que pasa con la rueda interior, que tiende a adoptar un ángulo más negativo todavía, lo que le beneficia, figura 4.12 pero esta rueda, al ser la más descargada, es la que menos colabora a la hora de agarrar bien el vehículo en curva.

Este efecto tiende a solucionarse diseñando sistemas de suspensión que tomen una caída negativa en los neumáticos en la compresión de la suspensión ya que al balancear el vehículo en curva, la rueda exterior comprimirá su suspensión y contrarrestará el efecto mostrado en la figura 4.12 adoptando ángulos lo más negativos que sea posible dentro de las limitaciones de la suspensión. 

En la figura 4.13 se pueden ver los valores de caída que adoptan dos sistema de suspensión diferentes (McPherson y de Paralelogramo) a lo largo de su compresión y extensión. Como se ve, durante la compresión ambos sistemas tienden a dotar a las ruedas de ángulos negativos, al contrario que en la extensión.

Los ángulos de caída también se puede graficar según su valor respecto al suelo. Esto se determina inclinando la carrocería hacia ambos lados y midiendo el ángulo de balanceo y la caída. 

La figura 4.14 representa la variación de caída respecto al suelo de varios sistemas de suspensión en función del recorrido de compresión y extensión de los mismos.

Comportamiento dinámico en función de la variación de caída

El ángulo de caída origina la aparición de una fuerza estática en la interacción con el suelo, que puede verse como ejemplo en la figura 4.15. De todas formas, esta fuerza es muy inferior a la originada por la deriva, siendo necesarios 6º de caída para tener la misma fuerza lateral que 1º de deriva.

Un ángulo de caída ligeramente negativo por tanto, favorece el agarre lateral, a costa de desgastar con algo más de velocidad el neumático que con un ángulo ligeramente positivo. Esto a nivel transversal, pero cuando hablamos de dinámica longitudinal, (frenadas, y aceleraciones) el máximo nivel de adherencia se consigue con valores de caída lo más próximos a 0 posibles.

De todo esto, deducimos que para un correcto comportamiento transversal del vehículo objeto de diseño, la suspensión deberá de tener una geometría la cual proporciones ángulos de caída negativos a las ruedas durante su marcha. 

Nuestro vehículo al disponer de un recorrido de suspensión casi mínimo, no aportará cambios significativos de variación de caída en función del recorrido de la suspensión, la rueda exterior en curva por tanto, seguirá teniendo una caída negativa respecto al suelo, pero por el contrario, la rueda interior, dispondrá de caía positiva, lo que mermará su capacidad de agarre. En nuestro caso, aceptaremos tal consecuencia, debido a que la rueda exterior ejerce gran parte de la capacidad de agarre en curva, debido a que es la rueda más cargada y la que ejerce mayor capacidad de absorción de carga transversal, por este motivo, el autor ve lógico sacrificar algo de agarre en la rueda interior de curva para dárselo a la rueda exterior, debido a su mayor trabajo en esas circunstancias. 

En la figura 4.16, se aprecia la variación de adherencia transversal y longitudinal en función de diferentes valores de caída de un neumático típico de F1.

Del gráfico podemos extraer diversas conclusiones: 

• La máxima adherencia longitudinal se consigue con caídas cercanas a 0º. A medida que nos alejamos de este punto de caída nula (sea positiva o negativa) la adherencia longitudinal disminuye. Esta disminución suele ser tanto mayor como ancho es el neumático. 
• La máxima adherencia lateral aumenta a medida que tenemos caídas negativas (siempre respecto a la fuerza lateral aplicada) y siminuye rápidamente al tener caídas positivas. El máximo suele conseguirse con mayores ángulos de caída cuanto más estrecho es el neumático. 
• Las variaciones de la adherencia máxima debida a la variación de caída son elevadísimas. La diferencia de adherencia longitudinal y lateral de un neumático a -3º o -3,5 es de más de un 4%, teniendo en cuenta la influencia que tiene un 4% de tiempo en una carrera de F1, concluimos que un ajuste correcto de la caída puede ser vital para la competición.

Un F1 gira a derechas e izquierdas, frena, acelera, a muy diferentes velocidades, por lo que las caídas utilizadas no suelen ser extremas, si no que se buscan valores intermedios de compromiso en los que se intenta ganar la máxima adherencia lateral sin sacrificar en exceso la adherencia longitudinal.

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