HISTORIA DE LA HIDROSTÁTICA,  HISTORIA DE LA ECUACIÓN DEL GASTO 

El gasto, o caudal, es la cantidad de agua que pasa por una determinada sección de un conducto en un cierto tiempo. Para calcular dicho gasto en un conducto, simplemente se multiplica el área de la sección transversal del conducto, por la velocidad con que escurre el agua en la misma sección. Si se asigna al gasto la letra Q y al área la letra A y a la velocidad la letra V; se puede plantear la fórmula Q=AV. Esta fórmula o ecuación, es, en el ámbito de la hidráulica, la ecuación del gasto. En la historia de dicha ecuación presentan varias anécdotas curiosas. Leonardo Da Vinci ya hablaba de ella, pero es a Benedetto Castelli a quien se le reconoce su autoría. 

Un apunte conveniente para considerar la historia de la ecuación es el hecho de que mucho tiempo y aún en la actualidad, se ha considerado que el gasto se puede expresar únicamente por el área. Ello significa que el gasto no involucra a la velocidad y se puede asignar únicamente por unidades de área; por ejemplo: dos pulgadas de agua. 

Este error también ha sido ya observado desde tiempos inmemoriales. Según indica Frazier (1974) Hero de Alejandría consideraba necesario involucrar la velocidad del agua para el cálculo del gasto y no solamente el área de la sección transversal que ocupa el flujo. Hero sugería que se debiera considerar qué tan rápido o lento avanza el agua. Sin embargo, se detiene únicamente en observarlo, ya que solo lo menciona y termina proponiendo el método volumétrico para conocer el gasto; el cual de esta forma queda correctamente designado en cuanto a las unidades (volumen entre tiempo). El mismo Frazier indica que lo anterior aparece en libro Dioptra, escrito por el matemático y mecánico griego Hero de Alejandría en el primer siglo de nuestra era.

Leonardo Da Vinci y su inconformidad al respecto de la medición.

Levi (1985) menciona que Leonardo Da Vinci era el encargado ducal de la repartición del agua para riego. La cantidad de agua se media por onzas1. El líquido se hacía circular por un orificio circular, cuadrado o rectangular que tenía precisamente esa dimensión. Era obvio que Leonardo veía que la cantidad era diferente si la velocidad de salida era diferente. Y también notó que si la profundidad del agua antes del orificio era considerable así mismo lo era la velocidad. Según Levi estas observaciones se hicieron muy probablemente entre 1520 y 1530, o sea 1400 años después de la observación de Hero de Alejandría.

Giovanni Fontana y la medición de agua en el río Tíber 

También el doctor Levi menciona que en el año de 1598 Roma sufrió una grave inundación provocada por el desbordamiento del río Tíber, de hecho la peor de la historia. Las autoridades pretendieron construir los cauces necesarios para conducir una cantidad de agua igual al caudal de inundación, precisamente para evitar dicha inundación. Para saber cuánta agua escurrió encargaron al arquitecto Giovanni Fontana (1546-1614) la tarea de estimar el gasto. 

Al ser arquitecto, se supone que tenía inconsistencias y desconocimientos del tema, ya que no consideró las observaciones ni de Hero de Alejandría ni de Leonardo Da Vinci y estimó la cantidad de agua en unidades de longitud. Estimó que el escurrimiento fue de 500 cañas cuadradas (la caña era una vara de alrededor de dos metros); el río tenía una capacidad de aproximadamente un tercio de esa cantidad, por lo que Fontana infirió que debían construirse dos cauces más de similar tamaño. 

Sin embargo, toda el agua de la inundación escurrió por debajo del puente “Quatro Cappi”, también llamado Fabricio, de unas 150 cañas de sección. Ingenuamente Fontana concluyó que el agua se había comprimido debajo del puente. Nunca pensó que el agua simplemente avanzó más rápido; como ya lo habían considerado Hero de Alejandría y Leonardo Da Vinci.

Benedetto Castelli y la correcta proposición de la ecuación de gasto

El padre Benedetto Castellí (1578-1643) fue contemporáneo de Galileo Galilei e incluso fue su amigo. Era experto en temas de hidráulica y de hecho es considerado en Italia como el padre de la hidráulica. Castelli supo de la conclusión del arquitecto Fontana y no estaba de acuerdo con que el agua se haya comprimido y fue un asunto que lo intrigó durante un tiempo. Cabe aquí preguntar: ¿Castelli no sabía de los trabajos de Leonardo Da Vinci al respecto? ¿O de las opiniones de Hero de Alejandría?

Caminando por una calle de orfebres, Castelli observó la manera de adelgazar los hilos de plata y oro. Primeramente, se tenía un rollo del metal con un cierto grosor, después se hacía circular forzadamente por un orificio de menor diámetro para adelgazarlo. El doctor Levi indica que Castelli comprobó con mediciones que “la velocidad del hilo después del orificio en la placa, era mayor que antes de dicho orificio, en una proporción inversa de los grosores respectivos… Lo que hay que considerar atentamente –dijo- es que las partes del hilo antes del agujero tienen cierto grosor y las que salen del agujero son más finas, pero de todos modos el volumen y el peso del hilo que se desenrolla siempre son iguales al volumen y al peso del hilo que se enrolla”

Figura 2.11. Técnica de adelgazamiento del hilo de oro o plata por parte de los orfebres

También el doctor Levi menciona que el 12 de noviembre de 1625 Castelli escribía a Galileo para informarle que había demostrado geométricamente “que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo río cuando tiene otra altura, está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura”. Según el doctor Levi la propuesta de Castelli y que se refiere evidentemente a ríos de sección rectangular, aparece en el libro (de Castelli) de 1628 llamado De la medición de las aguas corrientes. 

Ampliando lo dicho por Castelli, Levi propone: (a) reemplazar la palabra altura, o sea tirante de agua, por la palabra sección; (b) indicar al gasto con Q; (c) indicar con A el área de la sección; (d) indicar con V la velocidad y (e) indicar con subíndices 1 y 2 las dos secciones. De esta manera, lo mencionado por Castelli se puede escribir como sigue.

Como apunte final de la historia de la ecuación de gasto, se cita un texto del doctor Levi:

Benedetto Castelli ha sido considerado en Italia como “padre de la hidráulica” y su fórmula se ha conocido como “ley de Castelli”. Esta atribución ha sido posteriormente controvertida, porque otros antes que él habían tenido un conocimiento por lo menos parcial de ella. Como se había mencionado, Leonardo Da Vinci ya había enunciado claramente la Proposición l y la había demostrado de manera muy parecida; sin embargo, la atribución parece merecida porque Castelli fue buscando este principio con tesón, perfeccionándolo poco a poco y, una vez establecido, lo fue aplicando sistemáticamente para resolver gran cantidad de problemas hidráulicos.