CAMBIO DE PLANO. GIRO. ABATIMIENTO 

Los segmentos o figuras planas se proyectan a veces en forma paralela a los planos de proyección y otras, oblicuamente a ambos. En el primer caso su magnitud puede obtenerse directamente. En el segundo, debe recurrirse a diferentes métodos como: cambio de plano, giro y como caso particular, abatimiento. Los procedimientos para resolver el problema son dos: a) mantener fija la figura y desplazar los planos de proyección (cambio de plano) y b) mantener fijos los planos de proyección y desplazar la figura haciéndola girar alrededor de un eje elegido convenientemente (giro).

Cambio de plano

Cambio de plano de un punto 

Dado que en el cambio de plano se mantiene fijo el elemento del espacio y se desplazan los planos de proyección, puede sustituirse uno de los planos de proyección por otro plano siempre que sea perpendicular al plano que permanece. 

Si se realiza un cambio de plano vertical, el nuevo plano será un plano proyectante vertical, sobre el que se obtendrá una nueva proyección vertical A’’1 del punto A del espacio (Figura 31). La proyección horizontal continua siendo la misma y por ese motivo también la cota del punto es la misma, o sea que las distancias de la proyecciones verticales, A’’ y A’’1, antes y después del cambio de plano son iguales a sus respectivas líneas de tierra.

Para realizar un cambio de plano horizontal se procede de manera análoga utilizando un plano proyectante horizontal.

Cambio de plano de una recta 

Para obtener las nuevas proyecciones de una recta r (r’, r’’) mediante un cambio de plano, se hallan las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, generalmente sus trazas. 

Si se efectúa un cambio de plano vertical, las proyecciones horizontales de sus trazas H’ y V’ permanecen, obteniéndose las nuevas proyecciones verticales de dichos puntos H’’1 y V’’1 trasladando sus cotas a partir de la nueva línea de tierra (Figura 32).  

Cambio de plano de un plano 

Para realizar un cambio de plano vertical, el vértice A que resulta definido por la intersección de dos planos verticales con un plano auxiliar α pertenece a los dos sistemas. Este punto se proyecta con igual cota en cada uno de los sistemas y pertenece a las trazas verticales del plano en ambos sistemas (Figura 33).

Giro

Giro de un punto alrededor de un eje 

Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia cuyo radio es la distancia del punto a la recta y está contenida en un plano perpendicular al eje de giro. 

Si se toma como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estará contenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y en el plano vertical como un segmento, igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que la contiene. 

Se gira el punto A (A’, A’’) trazando un arco de circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje e (e’, e’’), obteniéndose la nueva proyección horizontal del punto A’1, por dicha proyección se dibuja la perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical A’’1(Figura 34).

Giro de una recta alrededor de un eje 

Pueden presentarse dos casos: a) la recta corta al eje, o sea que son coplanares, y b) la recta no corta al eje, entonces no son coplanares, sino rectas alabeadas. 

En el primer caso, cuando la recta r (r’, r’’) corta al eje e (e’, e’’), el punto de intersección P (P’, P’’) entre ambos permanece fijo. Se gira solamente un punto A hasta la posición A1 y se une con el punto de intersección P. De esta manera se obtiene la recta girada r1 (Figura 35).

En el segundo caso, cuando la recta r (r’, r’’) y el eje e (e’, e’’) son alabeados, se giran dos de sus puntos, A y B, el mismo ángulo, hasta las posiciones respectivas A1 y B1. Uniendo estos dos puntos se halla la recta girada r1 (Figura 36).

Giro de un plano alrededor de un eje 

Si se gira un plano α (α1, α2) alrededor de un eje e (e’, e’’), en este caso vertical, la nueva posición del plano será β (β1, β2). 

El punto P de intersección con el plano α permanece fijo durante el giro. El plano en sus sucesivas posiciones determina un cono recto de vértice P y base la circunferencia e’N’, siendo N’ el punto de tangencia entre la traza α1 y el radio de circunferencia. Se traza una recta horizontal h (h’, h’’) del plano α , y se gira manteniéndose paralela al plano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal será paralela a la nueva traza horizontal del plano β que pasa por e (Figura 37)

Abatimiento

Abatimiento de un punto 

Abatir un punto significa abatir el plano que lo contiene. Si se desea abatir el punto A contenido en el plano α sobre el plano PH, se traza un arco de circunferencia AC igual a la distancia del punto A a la charnela α1, que es la intersección entre PH y α. El radio de giro r es la hipotenusa del triángulo rectángulo AA’C, cuyos catetos son la distancia del punto A al plano de proyección PH y la distancia de esta proyección A’ al punto C de la charnela α1. 

Se realiza un doble abatimiento. Primero se abate el triángulo sobre el plano de proyección PH, obteniendo así el triángulo abatido A’((A))C, y luego se gira la hipotenusa, que es el radio r hasta cortar la perpendicular a la charnela que pasa por C. Se obtiene así el punto abatido (A) (Figura 38 a).

En la figura descriptiva (Figura 38 b) las proyecciones A’ y A’’ pertenecen al plano α. Para realizar un abatimiento sobre el plano horizontal, se dibujan por A’ una paralela a la traza α1 y una perpendicular cortando a la traza en el punto C. Se traslada la cota del punto sobre la paralela y se obtiene ((A)), uniéndolo con C se halla el radio r. Con centro en C y radio r se dibuja la el arco de circunferencia que corta A’C en (A).

Abatimiento de una recta 

Para abatir una recta sólo se necesitan dos de sus puntos. En la figura 39 se han abatido las trazas de la recta r. La traza vertical V’’ se abate como en el punto anterior y la traza H’ permanece fija porque pertenece a la traza horizontal del plano α.

Abatimiento de un plano 

El abatimiento de un plano se logra abatiendo la traza que no funciona como charnela, ya que ésta rota sobre sí misma. Para abatir la traza vertical de un plano, α2, sobre el plano horizontal de proyección, sólo se abaten dos puntos. Uno es el origen del plano, que permanece fijo por pertenecer a la charnela, luego se abate un punto cualquiera de la traza vertical del plano y se une con el origen (Figura 40).

Ejemplos de abatimiento (Figura 41) y desabatimiento de un figura plana (Figura 42) 

a) Abatimiento del triángulo ABC dada su proyección horizontal A’B’C’ 

Para hallar la verdadera magnitud del triángulo ABC contenido en el plano α, primero se halla la segunda proyección, A’’B’’C’’, luego se abate al plano y cada uno de los puntos como fue explicado anteriormente obteniendo (A)(B)(C). Uniéndolos se obtiene la figura plana buscada.

b) Dada la verdadera magnitud de una circunferencia 

hallar sus dos proyecciones Se consideran dos diámetros perpendiculares de la circunferencia. Éstos se transforman en los diámetros conjugados de las elipses en que se proyectan las circunferencias. En el desabatimiento de la circunferencia puede aplicarse afinidad ortogonal teniendo en cuenta como eje de la charnela a la traza α1 y como figuras homólogas la circunferencia abatida y su proyección sobre el mismo plano.