EL CICLO DE CARNOT Y SUS RENDIMIENTOS TERMODINÁMICOS

HISTORIA

El Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que todos los procesos de la Naturaleza son irreversibles. 

Si analizamos someramente los procesos naturales, todos presentan al menos una de estas dos características: a) No quedan en absoluto satisfechas las condiciones de equilibrio mecánico, químico o térmico, es decir, de equilibrio termodinámico, b) Se producen siempre efectos de disipación energética, viscosidad, resistencia eléctrica, etc.. Solamente si un proceso se realiza quasi-estáticamente pasaría por una serie de estados de equilibrio termodinámico de modo que el trabajo que realiza puede recibirlo en el proceso inverso. Para que un proceso pueda, pues, considerarse reversible ha de cumplir en definitiva: primero, que sea cuasi-estático, y, segundo, que no se desarrollan en el mismo efectos de disipación energética. 

Cuando pretendemos crear un motor que funcione entre dos focos caloríficos, sabemos, por el Enunciado de Kelvin-Planck del Segundo Principio de la Termodinámica, que ha de tomar calor del foco caliente para realizar trabajo, pero, siempre, ha de ceder algo de calor al foco frío. Y el rendimiento del motor viene relacionado con la cantidad de calor que absorbe del foco caliente y la que cede al foco frío. Las preguntas que nos hacemos, y que también se hizo en su día el francés Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), son ¿Cuál es el máximo rendimiento que puede obtenerse de un motor funcionando entre dos focos?, ¿Cuáles son las características?, ¿depende de la sustancia con la que el motor funciona?. 

Carnot describió en 1824, en su artículo "Sur la puissance motrice du feu", cuando tenía 28 años, un motor ideal reversible que funcionaba con el rendimiento máximo en un ciclo muy sencillo, formado por dos tramos isotérmicos y dos adiabáticos, ciclo que hoy día se conoce como El Ciclo de Carnot.

Desde el concepto de Ciclo de Carnot el matemático y físico alemán Rudoff E. Clausius (1822-1888) pudo probar en 1850 un teorema fundamental para el desarrollo posterior de la Termodinámica, que permitió establecer matemáticamente el concepto de Entropia.

DESCRIPCIÓN 

El ciclo de CARNOT se basa en la existencia en el sistema de dos focos de calor y una máquina que produce trabajo en base a la diferencia de potencial calorífico de dichos focos. Puede38 utilizarse como máquina térmica o como frigorífica, introduciendo cíclicamente cambios en las variables de estado. El ciclo de CARNOT utiliza dos transformaciones adiabáticas reversibles y dos de naturaleza isotérmica.37 

Prescindiendo del aparato conceptual y metodológico inherente al estudio del ciclo de CARNOT (que no es nuestro objeto abordar aquí) de todos modos es posible revisar las conclusiones más cercanas al campo económico. 

Supóngase una máquina reversible intercalada entre un foco de calor, con una cantidad Q, a una temperatura T1 y otro foco con una cantidad de calor Q2 a una temperatura T2 , siendo T, > T2 , temperaturas medidas en la escala KELVIN38 . 

La consecuencia básica del pensamiento de CARNOT, consiste en que una máquina que genera trabajo ha de estar caliente en un lugar y fría en otro. Al fluir el calor del lugar caliente al frío se obtiene trabajo, en una cuantía que depende de la diferencia de temperaturas entre los dos lugares39 .

El rendimiento en la obtención de dicho trabajo W, denominado rt es equivalente a la relación40:

Por ello, el rendimiento máximo obtenible teóricamente es:41

De lo que se deduce que en la máquina de CARNOT no existen los rendimientos de escala, en pura teoría, sino los derivados de la diferencia de temperaturas absolutas, cualesquiera que sean las cantidades de calor manejadas. 

Si deseamos acercarnos a las condiciones reales mediante el estudio dinámico de los procesos irreversibles, se puede demostrar que el rendimiento correspondiente rt ajustado a tales circunstancias, es menor que en el supuesto de reversibilidad. Esto es así porque las temperaturas máxima y mínima de los focos de calor, tienden a ser rápidamente menor y mayor respectivamente, lo que reduce el trabajo teórico realizable y con ello, el rendimiento térmico. 

Definidos cualitativamente los límites de rt , conviene añadir que el trabajo realizable depende del concepto denominado EXERGIA.

Etapas que integran el ciclo de Carnot 

Consideremos que tenemos una cierta sustancia (podría ser un gas ideal) contenida en el interior de un recipiente con una pared móvil. Inicialmente (estado 1) se encuentra ocupando un volumen relativamente pequeño y a una presión relativamente elevada. A partir de este estado inicial, se llevan a cabo las siguientes cuatro etapas: 

A. Expansión isotérmica. El gas está en contacto con la fuente de calor, ambos están en equilibrio térmico a T1, y a esa temperatura el gas se expande de manera isotérmica. El volumen del gas aumenta debido al aporte de calor que proviene de la fuente. El gas recibe calor, pero su temperatura permanece constante (T1). 

B. Expansión adiabática. Se retira el contacto entre la fuente de calor y el sistema, y se aísla a este último para que no pueda intercambiar calor con los alrededores. En estas circunstancias se continúa expandiendo el gas, que ahora no recibe calor, por lo que utilizará su propia energía interna para empujar la pared móvil. Esta pérdida de energía interna se traduce en un enfriamiento del gas, que disminuye su temperatura de T1 (temperatura del foco caliente) hasta T2 (temperatura del foco frío). 

C. Compresión isotérmica. El sistema se pone en contacto con la fuente fría, y ambos estarán a T2. Manteniendo constante esa temperatura, el gas sufre una compresión. Puesto que al comprimirlo, el gas está recibiendo energía, se deberá permitir una salida de energía para que su temperatura permanezca constante. Esta pérdida de energía corresponde a un flujo de calor que sale del sistema hacia el foco frío. 

D. Compresión adiabática. De nuevo se aísla al sistema y se continúa comprimiendo el gas. La energía que recibe ahora no puede salir hacia los lrededores, por tanto se aumenta la energía interna del sistema y también su temperatura, que asciende hasta T1, cerrándose así el ciclo.

Representación gráfica del ciclo de Carnot

Para representar gráficamente el ciclo ideal de Carnot en un diagrama P-V, sería necesario conocer cómo varía P en función de V en procesos reversibles isotérmicos y adiabáticos. Las ecuaciones 3 y 4 describen estas relaciones. 

P1 V1 = P2 V2 

Ecuación 3: Relación entre P y V para una etapa isotérmica

La figura 2 representa en un diagrama P-V el ciclo de Carnot. El trabajo que el sistema cede a los alrededores durante la expansión equivaldría al área debajo de las curvas de expansión, y tendría signo negativo. El trabajo que el sistema recibe de los alrededores para la compresión equivaldría al área debajo de las curvas de compresión, y tendría signo positivo. En términos absolutos, el trabajo de expansión es mayor al de compresión, porque la expansión ocurre a presiones mayores que la compresión (las curvas de expansión van por arriba y las curvas de compresión por abajo). La diferencia entre ambos valores, que gráficamente equivaldría al área encerrada dentro del ciclo, será el trabajo neto que el motor produce en cada ciclo.

Rendimiento del ciclo de Carnot 

Por último vamos a transformar la expresión del rendimiento en función de los flujos de calor (ecuación 2) en otra ecuación en función de las temperaturas de los focos, más fáciles de determinar que los flujos de calor. 

En las dos etapas isotérmicas, por tener un gas ideal variando de volumen y presión a temperatura constante, la U del sistema no habrá variado (en los gases ideales U depende solamente de la temperatura). Por tanto, al aplicar la primera ley de la termodinámica se puede afirmar que el calor intercambiado equivale al trabajo intercambiado, aunque ambos tendrán signos contrarios (en la expansión isotérmica, el sistema cede trabajo y recibe calor, mientras que en la compresión isotérmica, el sistema recibe trabajo y cede calor). Así, puede deducirse las expresiones de la figura 3 para las dos etapas isotérmicas del ciclo de Carnot.

Por otro lado, la figura 4 muestra ecuaciones aplicables a las dos etapas adiabáticas del ciclo de Carnot, de las que se puede deducir que V4/V3 equivale a V1/V2, donde cada uno de estos volúmenes es el volumen ocupado por el sistema en el correspondiente estado (V1 es el volumen del sistema en el estado 1 y así sucesivamente).

Finalmente, a partir de la expresión para el rendimiento en función de los flujos de calor (ecuación 2), y sustituyendo las ecuaciones que se muestran en las figuras 3 y 4, se obtiene una expresión para el rendimiento en función de las temperaturas de los focos, tal como muestra la figura 5

    

Es importante darse cuenta de la relevancia de esta última ecuación, ya que permite el cálculo del rendimiento de un motor térmico ideal en función únicamente de las temperaturas de los focos entre los que está funcionando. La medida experimental de una temperatura es mucho más sencilla que el cálculo de un flujo de calor, por lo que la ecuación e = 1-T2/T1 supone una importante mejora, en términos de operatividad, respecto a la ecuación 2.

Ejemplo numérico

Para finalizar veamos un ejemplo de aplicación de la ecuación del rendimiento (figura 5). Si un motor ideal quema combustible a 1500ºC (1773 K) y se encuentra en un entorno a 25ºC (298K), su rendimiento será 0.83 (figura 6)

Esto quiere decir que un motor ideal funcionando entre dos focos a las temperaturas dadas tendría un rendimiento del 83 %. Expresado de otro modo, de cada 100 J de calor que recibiera ese motor, 83 J se transformarían en trabajo y el resto (17 J) corresponderían a pérdidas de calor. El rendimiento calculado con esta ecuación corresponde a un motor ideal y por tanto supone el máximo rendimiento alcanzable por motores reales funcionando entre dos focos a las temperaturas dadas.

ALGUNOS EJEMPLOS DE CICLOS DE CARNOT: 

Si un motor reversible funciona entre dos únicos focos caloríficos ha de describir necesariamente un Ciclo de Carnot, pues si describiera otro ciclo diferente, el calor transferido al sistema supondría diferencias finitas de temperatura que harían que el motor no fuera reversible. Recíprocamente, si un motor fuera reversible, exigiría un número de focos caloríficos mayor que dos, por lo cual podemos afirmar la equivalencia entre las afirmaciones Motor de Carnot y motor reversible funcionando entre dos focos caloríficos únicos. 

La representación esquemática de un Ciclo reversible funcionando entre dos focos, y, por consiguiente, mediante dos isotermas y dos adiabáticas puede hacerse en un diagrama bidimensional en donde aparezca en un eje la fuerza generalizada (presión, fuerza electromotriz, campo electrico, campo magnetico, etc., y en el otro eje aparezca el desplazamiento generalizado x, volumen, carga, imanación, etc. Esto es lo que llamaremos un diagrama de trabajo generalizado:

El trabajo realizado a lo largo de un tramo cualquiera comprendido entre dos puntos A y B del mismo es el área comprendida bajo la gráfica correspondiente del tramo y que lo da la integral correspondiente de la fuerza generalizada por la diferencial del desplazamiento generalizado.

Veamos un par de ejemplos de Ciclos de Carnot: 

Ciclo de Carnot de una pila eléctrica reversible, en diagrama carga-fuerza electromotriz:

Ciclo de Carnot de una sustancia paramagnética, en un diagrama imanación-campo magnetico:

EL CICLO DE CARNOT DE UN GAS PERFECTO:

Cuando el sistema que evoluciona en un Ciclo de Carnot es un gas ideal, tanto el calor absorbido como el calor cedido se puede determinar muy fácilmente, puesto que sabemos que en las transformaciones isotermas se verifica que el trabajo

Esto quiere decir, analizando los cuatro tramos del Ciclo de Carnot para este tipo de sistema gaseoso: 

Primer proceso: Expansión isotérmica a temperatura T1 absorviendo calor Q1, con paso del volumen V1 al volumen V2:

Este resultado es fundamental. Nos indica que el rendimiento de un Ciclo de Carnot depende exclusivamente de las temperaturas de los focos frío y caliente y no de las cantidades de calor transvasadas ni del tipo de sustancia con la que funciona el ciclo. 

Todos los Ciclos de Carnot, operando entre dos temperaturas dadas, tienen el mismo rendimiento:

Bibliografía

[1] CURSO DE TERMODINÁMICA Aguilar Peris. Alhambra Universidad 1981 

[2] TERMODINÁMICA QUÍMICA Juan Antonio Rodríguez Renuncio, Juan J. Ruiz Sánchez, José S Urieta Navarro. Síntesis. 1999 

[3] FISICOQUÍMICA. Metz, C.R. Ed. McGaw-Hill. Interamericana. 1991

37 Ver la nota 23. 

38 La escala de temperatura KELVIN empieza en el cero absoluto admitido en temperatura. (0° K), equivalente a -273,16 °C. Existe una relación lineal entre ambas escalas, °K y °C. Así pues, debe sumarse 273 a los grados KELVIN para hallar su conversión a grados centígrados. 

39 COMMONER, B.: Op. cit., Pg. 36. 

40 LE G OFF, P.: Les rendements d Utilisation de I énergie par et pour les êtres humains. En: "Revue Générale Thermique Française". Tomo XVI. N° 181 Enero 1.977. Pg. 15. Asimismo, ver: SCHIPPER, L: Op. cit., Pg. 463. 

41 BIDARD, R.: Exérgie, rendements de cycles, rendements de machines. En: "Revue Générale Thermique Française". T. XIII. N° 150-151. Junio-Julio 1.974. Pg. 481-482. La equivalencia propuesta es posible, debido a que en un ciclo reversible las cantidades de calor tomadas del foco caliente y cedidas al foco frío, son proporcionales a las temperaturas absolutas respectivas (° K). Dicha propiedad no se cumple en los procesos térmicos irreversibles. Ver: AGUIRRE, F.: Op. cit., Pg. 105, ejemplo 4.1. Ver también: LUCINI, M.: Op. cit., Pg. 66.