CARÁCTER TERMODINÁMICO DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Como se ha venido mencionando en los capítulos previos, existe una ecuación que relaciona la velocidad del sonido c y la compresibilidad adiabática es. En este capítulo se plantea dicha relación conocida como la ecuación de Newton-Laplace (ecuación 1.54), considerando todos los parámetros físicos involucrados en su deducción. La propagación del sonido se restringiría ondas acústicas planas con velocidad de onda c. Este tipo de ondas serán producidas experimentalmente en el laboratorio, trabajo que ser ha desarrollado en el capítulo cuatro. Un modelo simple de propagación, el cual se abordará en esta sección supone que no hay perdida de fluido. Además, se supone que la propagación del sonido es un proceso adiabático, lo que también será corroborado en este apartado.

Ecuación de Newton-Laplace 

Para encontrar la relación entre la compresibilidad adiabática es y la velocidad del sonido c, se realiza una comparación entre la propagación de una onda sonora con la propagación de una onda compresional en un fluido [31]. Se considera una columna de sección transversal de ´área A que contiene a un fluido con una presión inicial P, densidad ρ y con un volumen inicial Vi = V, de este modo la masa del fluido dentro de la columna se determina por la expresión ρ = m/Vi. En un extremo se encuentra un pistón de masa despreciable que se puede deslizar hacia la derecha para comprimir el fluido como se muestra en la figura 3.1.

Al aplicar la fuerza A(P + ∆P) sobre el pistón este se mover´a hacia la derecha con una velocidad u y comprimir´a el fluido, la parte frontal del pistón se moverá a la velocidad c, la cual corresponde al frente de onda tal y como se muestra en la figura 3.1, donde la distancia ∆x = c∆t es la longitud de la columna que contiene al fluido no perturbado, y la distancia u∆t es la recorrida por el pistón en el instante de tiempo ∆t.

De este modo, se tienen dos velocidades, por un lado esta la velocidad del ´embolo u y por otro lado est´a la velocidad de la onda (velocidad del sonido) c. Dichas velocidades no son iguales ya que el pistón con velocidad u se detendrá en algún momento y la velocidad de la onda c continuar´a propagándose a una velocidad mucho mayor que u [31]. 

Entonces, el volumen que ocupa el fluido en el estado inicial (estado a) de la figura 3.1) ser´a Vi = Ac∆t. De este modo se puede obtener una expresi´on para la masa a partir de la expresi´on de la densidad de la forma: 

m = ρVi = ρ(Ac∆t) (3.1) 

Ahora ya que se tiene esta masa, se analiza su movimiento al ser comprimida. Dado que el sistema no se encuentra en equilibrio termodin´amico cuando es perturbado, es decir, no se encuentra en: equilibrio mecánico, equilibrio qu´ımico y equilibrio térmico, se aplica la segunda ley de Newton a la masa m considerando que solo hay desplazamiento hacia la derecha y hacia la izquierda. Considerando un diagrama de cuerpo libre para la masa m como en la figura 3.2, la fuerza total FTot sobre la masa sera

donde m(u − uo) es el cambio del momento lineal de la masa.

Si se supone que el pistón parte del reposo, es decir uo = 0, se tiene que

Si se hace uso de la propiedad termodinámica definida previamente como el coeficiente de compresibilidad adiabático dado por

puesto que el volumen original del fluido sujeto a compresión es V = Ac∆t, el cambio en el volumen ∆V se expresa como el volumen desplazado por el émbolo dado por

donde el signo negativo significa que el volumen ha disminuido. De esta forma se llega a que

si se sustituye este resultado 3.10 en la ecuación 3.8 se tiene que

finalmente, esta expresión se iguala con la obtenida previamente para el cambio de presión (ecuación 3.6) con lo cual se llega a que

Una expresión parecida a la anterior, deducida para la velocidad del sonido, fue obtenida por Newton, y lleg´o a que [17],

Newton consideró la magnitud ∆V /V ∆P como el coeficiente de compresibilidad isotérmica. Posteriormente Laplace demostró que dicha expresión es realmente el coeficiente de compresibilidad adiabática, situación que fue asumida en la demostración desarrollada en este trabajo llegando a la expresión demostrada 3.13 [17]. 

Para demostrar este hecho, se considera que se tiene una columna del fluido, con una sección transversal de área A, entre dos planos, uno en el centro de una compresión (la zona de mayor densidad) y uno en el centro de una rarefacción (la zona de menor densidad), separados a una distancia λ/2, donde λ ser ‘a la longitud de onda de la onda acústica como se muestra en la figura 3.3. La temperatura en el centro de la compresión es mayor que la del centro de la rarefacción en ∆T, es decir T1 > T2 [17], ya que está relacionada con la densidad del fluido.

La cantidad de calor transferido durante un proceso es denotado por Q. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo es llamado razón de transferencia de calor denotado por Q˙ , lo que significa derivada con respecto al tiempo. De este modo la cantidad de calor transferido en un intervalo de tiempo se determina por

La razón de conducción de calor a través de una placa es proporcional a la diferencia de temperatura a lo largo de los planos de la placa y el área de transferencia de calor, pero es inversamente proporcional al grosor de la placa, esto es,

donde ∆x es el grosor de la placa, A es el área y k es la conductividad térmica del material, la cual es una medida de la habilidad del material para conducir el calor [34]

Entonces, el calor conducido entre dos partes de la columna del fluido (Q1) separadas a una distancia λ/2 entre las cuales existe una diferencia de temperatura ∆T = T1 − T2, en un tiempo t, está dado por [17],

Ahora, la cantidad de calor que se necesita para aumentar la temperatura de la masa de fluido (Q2) que se encuentra entre la compresi´on y la rarefacción en ∆T esta dada por [34],

La propagación de la onda sera adiabática si el calor conducido no es suficiente para poder aumentar la temperatura del fluido en ∆T, es decir,

De la relación 3.22, se tiene que la condición para que la propagaci´on sea adiabática es,

En general, las longitudes de onda de la ondas sonoras que se utilizan cumplen con esta condicion [17].

Para ejemplificar esto de forma num´erica, considere que la propagación del sonido se lleva a cabo en un gas, en el aire por ejemplo, bajo ciertas condiciones, as´ı se tienen los siguientes par´ametros (v´ease [17]):

Es claro que este valor es mucho más pequeño que la longitud de onda de una onda sonora ya que esta es del orden de centímetros. En el caso deliquios, este valor será aun más pequeño, por lo que se podrá asegurar que la propagación del sonido en el líquido será un proceso adiabático. 

Hasta ahora ya se conoce la ecuación que relaciona c y es en un proceso adiabático, con lo que es posible relacionar ´estas variables termodinámicas y encontrar las ecuaciones de estado.