BALANCES DE MOMENTUM EN ENVOLTURAS Y DISTRIBUCIONES DE FLUJO LAMINAR
Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad). Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es:
- Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina la dirección de los ejes coordenados.
- Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]
- Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura.
- Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda.
- Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo.
- Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial correspondiente.
- Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)].
- Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad (¿de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada.
- Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad.
- Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.
- Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad.
- Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de velocidad (el perfil de velocidad).
- Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa.
Condiciones a la frontera
En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se usan más frecuentemente son:
- Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales.
- Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos totales ʌ son continuas.
- Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos viscosos IJ son cero. Esto es una aproximación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de los líquidos.
Flujo de una película líquida descendente
Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del texto, para mostrarte que los resultados no dependen físicamente de dicha selección, cuando se respetan las convenciones de signos establecidas. También usaremos el concepto de flux combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segunda edición del texto. El propósito es que desarrolles una habilidad sintética que te permita tratar posteriormente los problemas en términos de dicho flux combinado, para expresarlo luego en términos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada.Lee el enunciado del problema en el texto.
- Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto con el sólido; la coordenada x es ascendente y la coordenada z sigue siendo descendente (ver Figura).
- La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo vz y cambia desde cero (en contacto con la pared sólida) hasta un valor máximo (en contacto con el aire). Entonces, a régimen estacionario tenemos vz(x) ⇀ la componente de velocidad en dirección z depende de la coordenada x
- La envoltura debe ser delgada en la dirección x que es aquella en la que cambia la componente vz y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende vz . Entonces dibujamos la envoltura:
- Haremos un balance de momentum en la dirección z, que es la del flujo. Entonces las componentes del flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, es decir, φzx=, φyz, φzz. Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z:
- Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde el flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z:
- Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando es cociente incremental de los términos con Mxz y se toma el lim 0 'x o , para obtener la ecuación diferencial:
- Los fluxes combinados son, en general:
- Pero al considerar que
- . La Ecuación diferencial (2.7) requiere una condición a la frontera para W xz y posteriormente, al sustituir la relación de Newton de la viscosidad, requerirá una condición a la frontera para la velocidad. En la interfase de la película con el aire podemos proponer
- Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del texto debido a nuestra selección de sistema coordenado, pero físicamente el significado es idéntico.
- Al integrar la ecuación (2.7) y sustituir la condición a la frontera (2.8) tenemos:
- A diferencia del resultado del texto, los esfuerzos viscosos son aquí negativos. Esto indica que la propagación del momentum sigue ahora la dirección negativa del eje coordenado x, lo cual es físicamente idéntico al resultado del texto, ya que hemos invertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio.
- Sustituimos ahora la relación de Newton de la viscosidad en la ecuación (2.10):
- Integramos esta ecuación para la velocidad y sustituimos la condición a la frontera (2.9) para obtener la distribución o perfil de velocidad:
- Podemos ahora utilizar la distribución de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, con cualquiera de las dos expresiones, los siguientes parámetros físicos: a. Velocidad máxima que es el valor máximo que alcanza la velocidad. En este problema es la velocidad cuando x=δ en la Ecuación (2.13):
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